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ProbTriángulo (con ángulos rectos)


Encontrar en el triángulo ABC un punto M sobre su lado BC tal que, trazando desde él las perpendiculares a los lados c y b que determinan el segmento y, dicho segmento y sea de longitud mínima.


La propuesta se representa en la Fig.1 en que se aprecia el cuadrilátero inscribible de diagonales AM e y. Lo es porque sus ángulos opuestos indicados como rectos, lo son. Ello quiere decir que la circunferencia de diámetro AM también pasará por el pie de la altura del lado a. Estamos hablando del arco capaz de 90o sobre el segmento AM.

Fig. 1

Si hacemos que el punto M recorra el lado a desde B hasta C vemos en la Fig. 2 que las circunferencias como la de la Fig. 1 tienen siempre como cuerda la altura del vértice A, con la particularidad de que cuando M coincide con el pie de esa altura del vértice A, la cuerda se convierte en diámetro. Esa circunferencia es la de menor diámetro ya que todos los otros diámetros AM son mayores que la altura de A.

Fig. 2

Observar que cuando M se sitúa en B ó C, una rama de su ángulo queda al aire y la otra coincide con la altura respectiva del triángulo, con lo que queda en evidencia su ortocentro.


Ello quiere decir que, como todos los cuadriláteros tienen A y M como vértices opuestos, sus diagonales AM e y (en rojo) van creciendo en cuanto AM se aparta de la altura de A. En verde se destaca la y que, como se ve, resulta ser la de menor longitud. Por consiguiente, la menor longitud del segmento y se obtiene cuando M coincide con el pie de la altura del lado a.


Lo mismo se puede demostrar analíticamente desde la Fig. 1. Igualando a cero la derivada de la función y.


n = x sen B

m = (a – x) sen C


y2 = m2 + n2 – 2mn cos(180 – A)

y2 = m2 + n2 + 2mn cos A


y2 = (a – x)2 sen2 C+ x2 sen2 B+ 2sen B sen C x (a - x) cos A


2yy´ = -sen2 C 2 (a – x) + 2 sen2 B x + 2 sen B sen C cos A (a – x – x)


La condición de mínimo se plantea para y´ = 0 a condición de que y ≠ 0 Esta última condición siempre se cumple ya que los segmentos y (en rojo y verde en las figuras), están materialmente comprendidos entre los lados b y c. Así tendremos:


sen2 C  (a – x) =  sen2 B x +  sen B sen C cos A (a – 2x)


x = (a sen2 C – a sen B sen C cos A) / (sen2 C + sen2 B - 2 sen B sen C cos A)


que se satisface para x = c cos B, es decir, para M situado en el pie de la altura A.



A la vista de las dos figuras, mi amigo Mariano Nieto explica la solución concisamente, tal como así:

“Siendo el ángulo A constante, las circunferencias de diámetro AM giran en torno de A de forma que la cuerda y, interceptada por los lados b y c, será menor cuanto menor sea el diámetro AM. Y ello ocurre cuando dicho diámetro coincide con la altura del lado a, es decir, cuando M coincide con el pie de dicha altura”.