ProbSucesion

3,  13,  1113,  3113,

Dada esta sucesión, averiguar cual es el número siguiente en ella.

SOLUCIÓN

Veamos lo que tienen en común sus miembros:

-Todos terminan en 3.

-En todos ellos sólo aparecen los dígitos 1 ó 3.

-Todos, menos el primero, que podría tenerse como excepción obligada, terminan en 13 (algo parecido ocurre con la sucesión de Fibonacci).

-En todos, menos en el primero, ocurre que la suma de sus dígitos es el doble que n (llamando n al número que expresa la posición del miembro en la sucesión).

-Los unos que hay en cada miembro no superan la cantidad de 3, así que puede haber uno, dos o tres unos nada más.

Por otra parte sabemos que:

-Un múltiplo de 3 es aquel cuyos dígitos sumados producen un múltiplo de 3.

-Si elegimos al azar tres números consecutivos en la sucesión de los números naturales, siempre ocurrirá que uno de ellos será múltiplo de 3.

-Si a cualquier número no múltiplo de 3 le restamos ó 1 ó 2 obtenemos un múltiplo de 3.     

Busquemos el nº correspondiente a n = 5

Será: abcdef… 13 de tal manera que a + b + c + d + e + f… + 1 +3 = 2n = 10

a + b + c + d + e + f … = 10 – 4 = 6

6 / 3 = 2

lo que quiere decir que la suma de las letras equivaldrá a la suma de dos treses.

a + b + c + d + e + f… = 3 + 3

Por tanto, el nº n = 5 sería 3313 que cumple con los requisitos exigidos.

OTROS EJEMPLOS,

Para n = 9  

a + b + c + d + e + f … + 1 + 3 = 18

a + b + c + d + e + f …= 14

Como 14 no es múltiplo de 3, le restaremos 2 para obtener  un número que lo sea.

(14 - 2) / 3 = 12 / 3 = 4

Con 4 treses + 13 tendríamos 16 (y no 18 que es lo que necesitamos). Tendremos que añadir dos unos que sí es aceptable, resultando el número 33331113 (4 treses + 2 unos + 13).

Para n = 13

a + b + c + d + e + f …  + 1 + 3 = 26

a + b + c + d + e + f … = 22

Como 22 no es múltiplo de 3, le restaremos 1 para obtener  un número que lo sea.

(22 – 1) / 3 = 7

Con 7 treses + 13 tendríamos 25 (y no 26 que es lo que necesitamos). Tendremos que añadir un uno que sí es aceptable, resultando el número 3333333113 (7 treses + 1 + 13).

Exagerando, para n = 97

x +4 = 97  2 = 194

x = 190

190 – 1 = 189

189 / 3 = 63

x = 63 treses

63  3 + 1 + 1 + 3 = 194

(63 treses +1 + 13) es el número buscado.

Hasta aquí, mi solución, pero después de trabajármela me entero de que he ido por el mal camino. La sucesión planteada era la de Conway que es mucho más ingeniosa que la mía, naturalmente. Consiste en lo siguiente:

Se dan los cuatro primeros números de la sucesión     3,  13,  1113,  3113, …

Se pide el siguiente al último      3113

Lectura de sus dígitos:     un     tres     dos     uno/s   un         tres.

Traducción a dígitos:          1         3         2           1         1       3  

SOLUCIÓN:     132113.

Veamos cómo se han ido generando los anteriores:

Un     tres     ->     13

Un     uno     un     tres     ->     1113

Tres     uno/s     un     tres     ->     3113

Salta a la vista que en mi solución se puede calcular, en muy poco tiempo, cómo va a ser el número n de la solución. En la sucesión Conway, en cambio, para obtener el nº n hay que tener calculados antes todos y cada uno de los anteriores, que es cosa bastante trabajosa.