QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

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ProbPoligonos


Sea la Fig. 1 en la que se representan un hexágono, seis pentágonos y 12 cuadrados. Si las coordenadas de S y T son, respectivamente:

S ≅ (- 1, 0) y T ≅ (1, 0)


Se pide hallar el radio R del círculo rojo.

SOLUCIÓN


Con los datos del enunciado se ve que todos los polígonos son regulares de lado L igual a 2.


Por comodidad elegiremos como nuevo origen de coordenadas al centro del hexágono H ≅ (0, 0) (ver Fig. 2; nos hemos olvidado del origen del enunciado). Esta Fig. 2 es una extracción de la 1 con estos añadidos: los centros H, P y C, respectivamente, de hexágono, pentágono y cuadrado, de manera que HPA es el eje de simetría del conjunto hexágono / pentágono, y PC lo es del conjunto pentágono / cuadrado.


Se pide hallar R = HB. Obtendremos primero las coordenadas de A y luego las de B para lo que habrá que tener en cuenta lo siguiente.



Para los lados L se tiene LH = LP = LC = 2.


Los ángulos internos de los polígonos valen α 6 = 120; α 5 = 108; α 4 = 90.


La apotema del hexágono es aH = L√(3) / 2 = √(3) = 1,732


La apotema del pentágono es aP = (L / 2) Tg (α 5 / 2) = tg 54 = 1,3764


El radio del pentágono es rP = (L / 2) / cos (α 5 / 2) = 1 / (cos 54) = 1,7013


El ángulo AHX = 30º


El ángulo CPX = 180 – 60 – (108 / 2) = 66º


AH = 1,732 + 1.3764 + 1,7013 = 4,8097           


XA = AH cos 30 = 4,8097 cos 30 = 4,1653


YA = AH sen 30 = 2,4048


AD = AB × cos CPX = 2 × cos 66 = 0,8135


DB = AB × sen CPX = 2 × sen 66 = 1,8271


XB = XA + AD = 4,1653 + 0,8135 = 4,9788


YB = YA + DB = 2,4048 + 1,8271 = 4,2319


HB = √ [(XB)2 + (YB)2] = √ [(4,9788)2 + (4,2319)2] = 6,5343

Fig. 2

Fig. 1