ProbPlata

Un platero tiene una barra de plata de 31 cm de longitud. Tiene también una deuda  con un acreedor, que debe estar saldada el 31 de marzo.

Deudor y acreedor acuerdan que la deuda se satisfará con la barra de plata a base de cortarla en trozos de forma que cada día, desde el 1 de marzo al 31, entregará el platero al acreedor, 1cm de la barra.

Se pregunta cual será el menor número de cortes que el platero ha de dar a la barra para cumplir con su compromiso.

SOLUCIÓN

Al platero se le ocurrió lo obvio; puesto que la barra tiene tantos cm como días tiene marzo, habría que darle 30 cortes para obtener las 31 porciones. A ello se puso y cortó el primer cm. pero le costó tanto que decidió buscar otro procedimiento. Y recordó que había leído en mi libro Matemáticas y Papiroflexia algo que tenía que ver con la división de tiras de papel utilizando la numeración binaria. Pág. 98 de

http://www.caprichos-ingenieros.com/ewExternalFiles/Extraordinario%202000.pdf

Así pues, comenzó por convertir 31 al sistema binario (Fig. 1), resultando

31 = 1  1  1  1  1

Fig.1

Hay que observar que todos los número expresados en el sistema binario empiezan por 1; es el último resto asociado al último cociente, el de valor cero.

A continuación enfrentó cada 1 con las sucesivas potencias de 2:                    

          24  23  22  21  20

31 = 1    1    1    1    1

obteniéndose que

24 +  23 + 22  + 21 + 20 = 16 + 8 + 4 + 2 +1 = 31.

Esta es la forma de convertir el número binomio 11111 en su decimal equivalente, el 31. Hay que tener en cuenta que en este caso se han tomado en consideración todas las potencias de 2 porque en el número binomio no hay ningún cero. De haberlo habido, su potencia de 2 asociada no se habría computado en la suma.

¿Qué resultado se obtiene? Pues que debemos trocear la barra de plata en 5 bloques, respectivamente de 1, 2, 4, 8 y 16 cm. Dando tan sólo 4 cortes. Como ya dio uno, sólo le falta dar otros tres más.

Queda mostrar que con esos 5 trozos se puede conseguir dar al acreedor un trozo cada día. A primera vista parece absolutamente imposible, pero resulta que sí es posible.

A continuación vemos, en primer lugar, a cada número representando un cm de la barra; en rojo están los cuatro cortes que hay que dar, los que determinan los cinco bloques de plata que hay que mover de una propiedad a la otra. Lo mostrado en primer lugar es la propiedad del platero antes de que éste haga ningún movimiento con ella el 1 de marzo. La propiedad del acreedor se situará, cada día, encima de la del platero.

1 / 2  3 / 4  5  6  7 / 8  9  10  11  12  13  14  15 / 16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31