ProbPinchando

Pinchando en el interior de un triángulo equilátero se obtiene un punto cualquiera. Hallar la probabilidad de que con los tres segmentos que se obtienen trazando desde el punto pinchado, las perpendiculares a los lados del triángulo, se pueda construir otro triángulo.

En la figura aparece, dentro del triángulo de partida, el triángulo equilátero de los puntos medios de sus lados y, por tanto, los otros tres iguales a este último.

Lo favorable de la probabilidad pedida es poder construir un triángulo con tres segmentos dados, cosa que, naturalmente, no siempre es posible. Es posible sólo si se cumple cualquiera de estas dos condiciones:

-Que cualquier segmento sea menor que la suma de los otros dos.

-Que cualquier segmento sea mayor que la diferencia entre los otros dos.

La figura muestra tres casos de pinchamiento, siempre en el triángulo central y en el inferior izquierdo. Los otros dos están en igualdad de condiciones que este último. A los dos puntos se añaden los tres segmentos-distancia correspondientes.

En el caso de la izquierda se ha pinchado en el centro de ambos triángulos. Se ve que con los tres segmentos del triángulo central se puede construir un triángulo (equilátero en este caso). En cambio, con los tres segmentos del triángulo inferior izquierdo no se cumple ninguna de las condiciones de triangulación.

En el caso del centro los dos pinchamientos se han hecho en la proximidad de un vértice de los triángulos pequeños. Se ve que con los tres segmentos del triángulo central se puede construir un triángulo (isósceles en este caso). No ocurre lo mismo para el otro triángulo pequeño considerado.

En el caso de la derecha los dos pinchamientos se han producido en la proximidad de los lados de los triángulos pequeños. Con los segmentos del triángulo central se puede construir un triángulo (también isósceles), mientras que no se puede para el otro triángulo pequeño considerado.

Con lo visto se puede inducir que la única superficie del triángulo grande donde se puede pinchar para cumplir el requisito del enunciado, es el pequeño triángulo equilátero central. Sólo falta obtener la probabilidad de tal ocurrencia. La respuesta es que siendo sólo uno de los cuatro triángulos equiláteros iguales el que puede cumplir la condición prescrita, la probabilidad de que tal ocurra es de 1 / 4 = 25 %.

NOTA

     Las dos condiciones de triangulación para tres segmentos son, en realidad una sola. Una condición puede considerarse como principio o teorema y, la otra, como su corolario.

La primera condición se sustancia en el principio de que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta y no la quebrada (aunque ésta sólo tenga dos tramos). Veamos cómo de ella se deriva la segunda. Designando a los tres segmentos como a, b, c podemos escribir:

a < b + c

b < a + c

c < a + b

Las desigualdades segunda y tercera nos permiten escribir.

a > b – c

a > c - b

Se ve que los segundos miembros de ambas desigualdades son iguales pero de signos distintos (uno es positivo y el otro negativo). Es decir, la medida de a siempre será mayor que la medida de la diferencia entre b y c; en el peor de los casos, una cosa positiva siempre es mayor que otra negativa.

Lo mismo que se ha hecho para a se puede hacer para b y para c con lo que queda demostrada la segunda condición; la del corolario.