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QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

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VARIANTE

Sea ahora el caso de que el río lleva una corriente de 1 Km / hora en sentido contrario a la marcha del cazador. El resto del planteamiento no se altera. La ingeniosa y sencilla solución consiste en suponer que entonces el cazador marcha a una velocidad que es suma de la suya y la del agua y que, en esas condiciones, el agua queda quieta. El cazador marchará a 1 + 1 = 2 Km / h y el perro, a la misma velocidad que antes, de 3 Km / h.


La Fig 3 muestra la nueva situación. Comparando ésta con la Fig.1 se ve que en ambas los tramos del perro son de la misma longitud (la correspondiente a su velocidad de 3 Km / h), mientras que los tramos del cazador son el doble de largos en la 3 que en la 1 (la longitud correspondiente a su nueva velocidad de 2 Km / h). La consecuencia es que el cazador anda un poquito más de 6 tramos (de los suyos –de 2 Km / h-) en Fig. 3, mientras que en la Fig. 1 es alcanzado por el perro en menos de 4 de sus tramos cortos.

Es decir, si el perro nada contracorriente, el cazador ha andado  unos 1.200 metros cuando le alcanza su perro.


La justificación mediante calculo infinitesimal se ve en la Fig. 4 en la que:


PKL y SRN son semejantes.

PL = 3dt

KL = dz

NS = 2 dt

NR = 2/3 dz

LN = a

HN = x

MS = x´

PN = y

LR = y´


Los vectores x (x´) e y (y´) apuntan al encuentro, respectivamente, del cazador y el perro; vectores cuyos diferenciales tienden a cero precisamente en ese encuentro.

Así tendremos:

dz + x´= x + 2dt

dx = x´- x = 2dt – dz

dz = 2 dt - dx

dy = y´ - y = a + 2/3 dz –(a + 3 dt)

dy = 2/3 dz – 3 dt

eliminando dz queda:

dy = 2/ 3 (2 dt – dx) – 3 dt

dy + 2 /3 dx = - 5 / 3 dt

Integrando esta ecuación diferencial, tendremos:

y+ k + 2 /3 x = - 5 /3 t

La constante de integración k, para y, se deduce del hecho de que en la situación inicial, es x = 0; y = 1 (un kilómetro de anchura del río; recordar que las velocidades vienen expresadas en Km /h); t = 0. Aplicando estas condiciones a la ecuación de arriba queda:

1 + k + 0 = 0

k = - 1

Como x e y valen cero cuando se produce el encuentro, será:

- 1 = - 5 /3 t

t = 3/5 de hora.

El encuentro se produce, pues, a 3/5 de hora desde el inicio; como el cazador marchaba en este caso (el que tiene en cuenta la corriente del río) a 2 Km / h, resulta que ha recorrido 6 / 5 de Kilómtero, es decir, 1,2 Km. (como en la Fig. 3).


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