ProbHistoria2

Y una coda

En el caso anterior (k = 2) nos planteamos el estado inicial en que un viejo se sitúa arriba, en la entrada de la escalera, y el chico enfrentando el final de la misma, abajo. En un momento dado, y al mismo tiempo, el chico empieza a subir a contrapelo y el viejo a bajar a pelo, pero quieto en su escalón.

El estado final viene dado por el momento en que ambos personajes se encuentran. Si entonces se para la escalera, la pregunta es: ¿Cuántos escalones ha pisado el chico desde el momento inicial hasta el final?

SOLUCIÓN

Sean y los escalones que ha pisado el chico; x serán los escalones que ha avanzado.

Que el chico avanza o asciende x escalones significa para el observador externo que el chico se ha desplazado una distancia igual a x veces el ancho de un escalón.

Observada la maniobra desde el exterior, hasta el encuentro, el chico habrá ascendido x escalones a la velocidad de subida a contrapelo v – w, y el viejo habrá descendido, a la velocidad w de la escalera, n – x escalones permaneciendo quieto sobre su peldaño.

Igualando tiempos, puesto que ambos personajes emplean el mismo (t) desde la situación inicial hasta la final, será (teniendo en cuenta que k = 2, es decir, que v = 2w):

t = x / (v – w) = (n – x) / w             (5)

x / (2w – w) = (n – x) / w

x / w = (n – x) / w

x = n – x

x = n / 2

x son los escalones ascendidos por el chico, pero no los pisados, que son más; pisa y escalones para avanzar (ascender) x. Así podremos escribir:

y = v t

n – x = wt         [de (5)]

Tomando estas dos últimas igualdades y dividiendo la primera por la segunda obtenemos la relación entre los escalones avanzados x y los pisados y.

y / (n – x) = k                 (6)

Para k = 2, al ser x = n / 2, resulta

y = n.

COMPROBACIÓN

Se puede comprobar el resultado para cualquier valor de k (k = v / w; v = kw). Poniendo (5) en función de k, tendremos:

x / (kw – w) = (n – x) / w

x / (k – 1) = n – x

x = kn – n – kx + x

kx = kn – n

x = (kn – n) / k                    (7)

y llevando (7) a (6) se obtiene, por sorprendente que parezca, que

siempre y = n independientemente del valor de k.

     Lo de sorprendente sugiere una explicación. Que siempre y = n parece evidente en el caso particular de k = 1. Entonces el chico no avanza: marcha sobre el propio terreno permaneciendo sobre su misma vertical a la espera de que le llegue el viejo. Así, cuando se encuentren, habrá pisado los n escalones que separaban a ambos en el estado inicial.

     Otro tanto cabe decir de la otra situación extrema: si el chico desarrollara una velocidad infinita, en teoría se habrá plantado arriba saltando los n escalones antes, incluso, de que el viejo empiece a moverse.

     Pero las situaciones intermedias ya no son tan evidentes. Aquí es donde el álgebra ayuda a la intuición (o la suple).

Y una coda a la coda

Mi amigo Mariano que es muy listo y muy intuitivo tiene, sin embargo, una limitación: No entiende que yo, para explicarme unos problemas como estos tenga que emplear más de tres folios. Me recuerda a Einstein (después de muerto).

Se cuenta que en una ocasión llevaron a su viuda a ver una batería gigantesca de supertelescopios en la que, se supone, había intervenido de alguna manera su marido. Y todo esto, para qué es? preguntó ella. Le respondieron: Para explicar el Universo.

Bah, comentó; para eso mi marido se sacaba del bolsillo una carta, y en la parte de atrás del sobre, lo sustanciaba en un momento.

Julio Camba decía tener gran dificultad para las cosas difíciles; y añadía: me pasa lo contrario que a los alemanes, que tienen serias dificultades con las cosas fáciles. Plantéele usted a un alemán una cuestión sencilla, que no se la resolverá hasta que le haya dado bastantes vueltas y complicado lo suficiente.

Pues a mí me pasa lo contrario que a Julio Camba con el agravante de que además, también tengo gran dificultad con las cosas difíciles.

Ya se lo he dicho a Mariano: Él mira con un ojo el enunciado de un problema y con el otro está viendo la solución como si fuera un axioma subyacente en el propio enunciado. Yo, por el contrario me inclino a ver la cosa como si fuera un teorema que hay que demostrar. Mientras intento demostrarlo trato de enterarme de qué va; algo así como “dejadme que os lo explique a ver si así yo me entero”.

Antonio Machado, en boca de Juan de Mairena o de Abel Martín venía a decir algo parecido: “Ayudadme a comprender lo que os digo, y os lo explicaré más despacio”.