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Hipocicloides singulares

Las hipocicloides son esas bellas curvas producidas cuando un Círculo rodador (Cr) de radio r (Fig. 1) rueda sin deslizamiento sobre el interior de una Circunferencia Base (CB) de radio R que está fija, inmóvil.

La hipocicloide (siempre en rojo) es generada por un punto P situado en cualquier lugar del Cr o de su propia circunferencia rodante.

La gran variedad de formas así generadas es función de la relación entre R y r, y de la posición que se fije para P.

En los tres casos singulares que vamos a ver, siempre será r = R / 2.


1) En el primero de ellos, P será el centro de la circunferencia de Cr (Fig. 1). La hopocicloide (el lugar geométrico de P al producirse la rodadura) será, evidentemente, una circunferencia concéntrica con CB y de radio r.

Al rodar Cr , los dos arcos terminados en flecha tienen la misma longitud y el centro P de Cr ha pasado a la posición P´sobre Hc que resulta ser la hipocicloide.


2) En el segundo caso (Fig. 2) vemos a Cr en su posición de partida conteniendo a P sobre el eje OX. Desde esa posición inicial comienza a rodar hacia arriba. Detengamos la rodadura en N cuando el centro de Cr está en A y se han rodado los dos arcos flechados de igual longitud.

Uniendo N con P´ resultará que NP´es perpendicular al eje de las x ya que el ángulo OPN subtiende el diámetro ON. Es decir, mediante la rodadura, P ha pasado a ser P´. El lugar geométrico buscado es el diámetro PB para media rodadura y BP para la otra media. Y así sucesivamente.


3) En el tercer caso (Fig.3), P está en  el interior de Cr de manera que, en su posición de partida, llamaremos a = PO y b = PB.

Desde esa situación, Cr rodará hacia arriba hasta que su centro esté en A. En esa posición, P no estará en N: eso habría ocurrido si sólo se hubiera producido el giro ; pero ha habido, además, una rodadura sin deslizamiento. Por ello P estará sobre otro punto tal como P´ (x,y) cuyas coordenadas constatamos:

g)      x = ON cos α         ;       siendo ON = OP, será:      x = a cos α

h)         Al ser D el punto de tangencia y DN = PB = b, DE es igual y paralela a P´F, así que y = P´ F = DE = DN sen α = b sen α

       

Se constata, pues, que P´ está sobre una elipse de semiejes a y b, y centro O ya que relacionando g) y h) tendremos:

x = a cos α          x2 = a2 cos2 α          

                                           Sumando:         x2 / a2 + y2 / b2 = 1

y = b sen α           y2 = b2 sen2 α          


que es la ecuación de la elipse representada en la Fig. 3 como lugar geométrico de P en sus posiciones P´ producidas al rodar Cr sobre CB.