Pgs. 1 2
ProbGrises
A una mesa redonda se sientan aleatoriamente pero repartidos de forma equidistante10 blancos y 10 negros. Trazar sobre la mesa un diámetro de tal manera que deje a un lado la misma cantidad de negros que blancos haya en el otro lado.
SOLUCIÓN
Cualquier diámetro que se trace entre dos personas cualesquiera consecutivas, cumple la condición.
Ese diámetro trazado dividirá la mesa en dos semicircunferencias que llamaremos 1 y 2. Asimismo designaremos:
N1 al total de negros que hay en el lado 1.
B1 al total de blancos que hay en el lado 1.
N2 al total de negros que hay en el lado 2.
B2 al total de blancos que hay en el lado 2.
Resulta evidente que se cumplen estas condiciones:
N1 + B1 = 10 (en el lado 1 del diámetro está la mitad de las 20 personas).
N2 + B2 = 10 (en el lado 2 del diámetro está la otra mitad de las 20 personas).
N1 + N2 = 10 (10 es el total de negros que hay a la mesa).
B1 + B2 = 10 (10 es el total de blancos que hay a la mesa).
Trazando un diámetro cualquiera, es decir, uno que deje en el lado 1, por ejemplo, a N1 negros (siendo N1 cualquier número comprendido entre 0 y 10), sabremos, sin más, cual es la distribución de las 20 – N1 personas restantes:
B1 = 10 - N1
B2 = 10 - B1
N2 = 10 - N1
Si en estas tres igualdades restamos de la primera la segunda, tenemos que
N1 = B2
Y si restamos de la primera la tercera, será:
N2 = B1
Que son las condiciones impuestas por el enunciado.
CAMBIO DEL ENUNCIADO POR OTRO MÁS COMPLICADO:
A una mesa redonda se sientan aleatoriamente pero repartidos de forma equidistante10 blancos y 10 negros. Demostrar que siempre se puede trazar sobre la mesa un diámetro de tal manera que deje a un lado la misma cantidad de negros que de blancos (ocurriendo análogamente al otro lado de dicho diáull ‡metro).
Me he entretenido en dibujar 7 configuraciones de asentamiento aleatoriamente distintas, de las que voy a extraer, por más significativas, las U, V y Z. Los negros están representados por aspas y los blancos por aspas dentro de un círculo. La posición 0 es la representada por el bastón diametral con pomo, tal como se muestra (en blanco) y, que se hará girar alrededor del centro de la mesa en sentido horario. El bastón en rojo indica la solución en cada caso (una de ellas si hay varias).
Los datos recogidos en sus correspondientes matrices están tomados de manera que se ha hecho la cuenta de las personas que hay a la izquierda del bastón diametral mirando desde el pomo al centro de la mesa.
Al girar el bastón se recorrerán las 11 posiciones (de la 0 a la 10), de manera que la 10 coincide en oposición con la 0. Como se ve, el bastón se situará cada vez entre dos personas adyacentes.
Llamaremos B y N, respectivamente, a la cantidad de blancos y de negros que se cuentan en cada posición siendo Δ = B – N el exceso de blancos sobre negros (que puede ser positivo o negativo). Precisamente Δ es la función que vamos a computar para ver su evolución.
Vamos a mostrar consecutivamente, tres bloques de figuras correspondientes a las disposiciones U, V y Z.
Cada bloque se compone, a su vez de estas tres figuras: La disposición de la mesa, la matriz de datos y la representación de la función Δ.
RECAPITULANDO:
Como insinué antes, además de las configuraciones U, V, Z que se muestran, estaban las T, W, X, Y que expresan un comportamiento semejante a las primeras.
Todas ellas tienen en común que las posiciones de Δ antes del cero o de los ceros, son positivas, mientras que todas las otras son negativas.
En todos los casos ocurre, como era de esperar, que las posiciones 0 y 10 resultan iguales pero invertidas.
En los 7 casos el valor Δ = 0, o es único, o se dan varios seguidos.
Δ no es una función continua propiamente dicha tal como se ve en V y Z. Ello es debido, sin duda, a la aleatoriedad del planteamiento. Me cabe la duda si no podrán darse casos en que se den ceros separados para Δ. De todas maneras ello ratificaría el hecho de darse situaciones conformes con lo que pide el enunciado: Parece que lo determinante es que las posiciones 0 y 10 resultan iguales en valor pero invertidas en signo.