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ProbFaro


Se trata de encontrar el menor número de escalones que ha de tener la escalera de un faro tal que su farista es capaz de subirla de estas diferentes formas:


Si asciende de 2 en 2 escalones, al final le falta 1 escalón por subir.

Si asciende de 3 en 3 escalones, al final le quedan 2 escalones por subir.

Si asciende de 4 en 4 escalones, al final le quedan 3 escalones por subir.

Si asciende de 5 en 5 escalones, al final le quedan 4 escalones por subir.

Si asciende de 6 en 6 escalones, al final le quedan 5 escalones por subir.

Si asciende de 7 en 7 escalones, al final llega justo: no le queda ningún escalón por subir.


Como se ve, la solución ha de cumplir las seis condiciones además de la de mínimo.

La primera condición exige que los escalones formen un número impar, y la última, que ese número sea múltiplo de 7.

Las otras cuatro indican, respectivamente que, necesariamente, el número de escalones no puede ser múltiplo ni de 3, ni de 4, ni de 5, ni de 6.


Vamos a asentar, por ejemplo y dentro de los 150 primeros números, todos los múltiplos de 7:

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

77

84

91

98

105

112

119

126

133

140

147

154

A continuación eliminamos de la lista a: los pares; a los múltiplos de 3; aquellos cuyas dos últimas cifras constituyan un número múltiplo de 4 (los números múltiplos de 4); a los que terminen en 5 (a efectos de los múltiplos de 5, los terminados en cero ya han sido eliminados por ser pares); de los múltiplos de 6 no hay que ocuparse porque ya se han eliminado como múltiplos de 2 ó de 3.


Después de las eliminaciones han quedado como posible solución: 7, 49, 77, 91, 119 y 133.

Hemos de ver ahora el comportamiento de estos seis números a efectos de resto en su división, respectivamente, por 2, 3, 4, 5, y 6.


Hay que descartar;

7, porque su resto al dividir por 3 es 1 y debe ser 2.

49, porque su resto al dividir por 3 es 1 y debe ser 2.

77, porque su resto al dividir por 4 es 1 y debe ser 3.

91, porque su resto al dividir por 3 es 1 y debe ser 2.

133, porque su resto al dividir por 3 es 1 y debe ser 2.



119 es la única solución correcta que queda porque además de múltiplo de 7, cumple la exigencia de todos los restos. Y al ser la primera que encontramos, determina la escalera de mínimos escalones.


Cuando hice estas cuentas por primera vez, y por despiste, descarté el 119 (¡Que ya es casualidad!) con lo cual seguí con la maniobra hasta dar con otra solución válida: 539 escalones (que después he comprobado no ser la de mínimos).


Me pregunto cual pueda ser la relación entre dos soluciones consecutivas, porque esto se parece mucho a lo que ocurre con los números primos que trae de cabeza a todos los matemáticos. Parece que no existe fórmula, así que, para el caso del faro será bueno encontrar, a cambio, un programa de   Basic que facilite la cosa. Algo así como éste:



REM Este programa faro.BAS obtiene las cinco primeras soluciones al problema que se plantea en    ProbFaro.docx. Las cinco soluciones impresas son el output del programa.

A es la cantidad total de escalones que se supone existen cada vez.

A = 7

Goto 20

10 A = A + 7

20 REM como todo A es múltiplo de 7, siempre será R0 = 0, pero ha de verse su comportamiento frente a los otros restos.

      R1 = A – (INT (A / 2)) * 2

      R2 = A – (INT (A / 3)) * 3

      R3 = A – (INT (A / 4)) * 4

      R4 = A – (INT (A / 5)) * 5

      R5 = A – (INT (A / 6)) * 6

      R0 = A – (INT (A / 7)) * 7

IF R1<>1 OR  R2<>2 OR R3<>3 OR R4<>4 OR R5<>5 THEN 10 ELSE 30

N = 0

30 Print A

N = N + 1

IF N = 5 THEN GOTO END ELSE 10

END


Como se ve, este programa está diseñado para obtener las 5 primeras soluciones, pero vale para cualquier otra cantidad de soluciones, con estas dos condiciones: 1) Cambiar en él N = 5 por la cantidad de soluciones deseadas. 2) Que el ordenador tenga suficiente capacidad para efectuar todas las iteraciones necesarias.


Luego llega mi amigo Mariano y me da, como de costumbre, la solución elegante (aunque sólo para la primera ocurrencia).

Si llamamos N al número de escalones, resulta que N+1 debe ser múltiplo de 2, de 3, de 4, de 5, y de 6. Por consiguiente N+1 será un número que tiene como factores a 4, 5 y 6 (lo que nos garantiza que también tiene como factores a 2 y 3). Podemos pues establecer la siguiente igualdad: N+1 = 4 x 5 x 6 = 120. De donde N = 119, que es impar y múltiplo de 7.

Es decir: Al principio le añadimos un escalón (N+1) y al final se lo quitamos (120 → 119).