QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

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Historia de otra escalera

Sea una escalera de mano apoyada en el suelo y contra una pared. En vez de tener apoyos antideslizantes como es habitual por razones de seguridad, vamos a imaginarla materializada por una barra con sendas ruedecillas en sus extremos para que pueda deslizar desde una posición teóricamente vertical sobre la pared hasta la horizontal sobre el suelo.

En estas condiciones vamos a responder a la doble pregunta de cual es el lugar geométrico, cuando la barra se mueve entre las dos posiciones extremas, de:

1) El punto medio de la barra.

2) Otro punto distinto de éste.

1) Si el punto medio M de la barra AB en una posición cualquiera  (Fig. 1) tiene x como abscisa e y como ordenada, al ser M punto medio de AB, también será N punto medio de OB, y por tanto, MO = MB, así que ON2 + NM2 = MB2 = (1/2 AB2), es decir x2 + y2 = constante, que es la ecuación de una circunferencia de radio igual a la mitad de la longitud de la barra, y centro en O.


La figura muestra en rojo la circunferencia lugar geométrico y en línea gruesa, a la barra en una nueva posición A´M´B´.


2) Veamos ahora el lugar geométrico del punto P (x,y), si P es distinto del punto medio de la barra MN, y  α es el ángulo de dicha barra con el suelo, cuando MN se mueve apoyada en éste y en la pared (Fig. 2). Será:


x = MP cos α                 x2 = MP2 cos2 α

y = NP sen α                 y2 = NP2 sen2 α


sumando:

La última expresión es la ecuación de una elipse de semieje mayor a = PM = OA y semieje menor b = PN = OB.

La misma Fig. 2 muestra, en línea gruesa, a la barra MN en posición más elevada y cortando a la elipse / lugar geométrico de P en un punto tal que su tramo inferior tiene la longitud equivalente a OB = PN y el superior, a OA = PM.