ProbCienciaf

Se trata de un problema de ciencia ficción consistente en que dos naves espaciales situadas en puntos diametralmente opuestos de su órbita circular común, empiezan a orbitar al mismo tiempo y en sentido contrario, en un momento en que el controlador de la órbita da la señal de arranque.

Entonces, ambas naves empiezan a marchar sobre dicha órbita común a velocidades constantes, pero diferentes. Una nave es más rápida que la otra.

El controlador observa que ambas naves se cruzan por primera vez cuando la rápida ha recorrido 800 años luz. Después de este primer cruce, y de forma continua, las naves siguen orbitando hasta producirse el segundo cruce de ellas, el cual sucede cuando la lenta ha recorrido 200 años luz desde que ocurriera su primer cruce.

Con estos datos, se pide hallar la longitud completa de esa órbita circular común.

SOLUCIÓN

Plantearemos en paralelo dos procesos que se complementarán entre sí: uno cinemático-algebráico y otro geométrico según la figura. Esa complementación ayudará a comprender mejor el conjunto del proceso de resolución.

Veamos algunas premisas de partida.

-Entre una salida simultánea en el tiempo pero no coincidente en el espacio, y el primer cruce (en el punto1) las dos naves emplean el mismo tiempo.

-También emplean el mismo tiempo entre su primer cruce en 1 y su segundo cruce en 2. Pero este tiempo es distinto del anterior porque para el trayecto 1-2 de ambas naves se da simultaneidad en el tiempo y coincidencia en el espacio tanto para el punto1 como para el 2, cosa que no ocurría en el trayecto anterior.

Llamaremos

- a, a la longitud en años luz de la semiórbita, es decir, a la de la semicircunferencia orbital; 2 × a, será la longitud de órbita completa que se pide.

- VR a la velocidad de la nave rápida y VL a la velocidad de la nave lenta, ambas constantes.

- Como el tiempo empleado en un recorrido es igual al espacio recorrido / la velocidad a la que se recorre, podremos escribir para el recorrido desde la partida hasta el primer cruce en 1 (800 = arco A1):

800 / VR = (a – 800) / VL

- Mirando la figura veremos que ocurre análogamente para el intervalo entre el primer cruce en 1 y el segundo cruce en 2 (el arco 1-2 mide 200 según el dato):

((2 × a) – 200) / VR = 200 / VL

Igualando las relaciones VR / VL deducibles de las dos igualdades anteriores, podemos escribir:

800 / (a - 800) = [(2 × a) – 200] / 200

a = 900

2 × a = 1.800 años luz de órbita completa.

Para construir la figura de la órbita (en rojo el recorrido rápido y en blanco el lento) hay que hallar su radio y los ángulos que hay en juego:

Radio de la órbita = 1.800 / 2 π = 286,4789 años luz

Veamos el valor de los ángulos centrales AO1 y 1O2 teniendo en cuenta la relación entre los arcos y sus correspondientes ángulos en una circunferencia.

Arco = semicircunterencia = 900 años luz        ⇒     ángulo 180O

Arco = 800 años luz                                    ⇒      ángulo AO1

ángulo AO1 = 800 × 180 / 900 = 160O

Arco = semicircunterencia = 900 años luz        ⇒     ángulo 180O

Arco = Arco 12 = 200 años luz                        ⇒      ángulo 102

ángulo 102= 200 × 180 / 900 = 40O