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Dos problemas de áreas
PRIMERO
Sea un triángulo ABC dado por sus tres lados abc. En el lado a se fija un punto P determinado por el segmento d. Se pide trazar por ese punto una recta que corte al lado c de tal manera que el área del triángulo de partida quede dividida en dos áreas iguales.
SOLUCIÓN (Fig. 1)
Uniendo A con P tenemos el segmento k. Tracemos una paralela a K que diste de ella un valor cualquiera h. Este valor de h será la incógnita del problema. Hay que observar que si d < a/2, aquella paralela se situará a la derecha de k y en caso contrario, a la izquierda. La razón de ello se evidencia al considerar que si P coincide con el punto medio de a, la solución del problema es que k sea la mediana correspondiente al lado a.
La intersección de esa paralela con b permite dibujar los triángulos 2 y 3; el 1 ya existía antes; llamaremos 0 al triángulo abc.
En 1 podemos calcular el lado k puesto que conocemos sus lados c y d, y el ángulo que forman, B. El valor de B se puede obtener en 0 a partir de sus lados a,b,c.
Siendo p0 el semiperímetro de 0, es:
P0 =(a+b+c)/2
En el mismo 1 tenemos:
En 2 vamos a relacionar su base k, que acabamos de hallar, con su altura incógnita h, y el resto de áreas. Tendremos lo siguiente.
Llamando S0, S1, S2 y S3, a las áreas de los correspondientes triángulos, será:
h = 2S2 / k
S0 = S1 + S2 + S3
S3 = S1 + S2
Sumando las dos últimas ecuaciones y despejando 2S2, queda:
2S2 = S0 – 2S1
que nos permite hallar h:
h = (S0 – 2S1) / k
k ya es conocida; S0 y S1 son las áreas de dos triángulos que también podemos conocer puesto que de ambos conocemos sus tres lados. Sus áreas en función de los semiperímetros valen:
P0 =(a+b+c)/2
P1 =(d+k+c)/2
En el trapecio de bases k y k1, y altura h, tenemos:
h(k + k1) / 2 = S – dH / 2 – ah1 / 4
Sustituyendo:
Identidad que justifica la hipótesis de que la paralela por M resuelve el problema.
Se lo enseño a mi amigo Mariano y me dice que sí, y que la figura resulta muy bien, pero que he matado una pulga a cañonazos. Y añade: Si en la hipótesis planteada prolongas la paralela a k según K1 hasta que corte al lado a, lo hará precisamente en su punto medio M (Fig.2).
Me apresuro a hacerlo, demostrando que ocurre tal.
Llamando H a la altura correspondiente al lado a, y S al área del triángulo ABC, será:
H = 2S / a
S1 = dH/2 S2 = kh / 2 S3 = k1h / 2 S4 = ah1 / 4
Sumando:
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