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TRONCOCONO

Estamos acostumbrados a ver conos rectos completos o seccionados  por un plano. Si éste es paralelo a su base la sección producida es una circunferencia, si es paralelo a una generatriz se produce una parábola, y si forma con la base un ángulo mayor que el que forma con ella una generatriz, es una hipérbola.


Pero yo nunca había visto un tronco de cono como éste de la Fig. 1 que es producto de una ocurrencia mía, o capricho para arquitectos.


Como se ve, su base mayor es una circunferencia y la menor, una elipse. Se trata de una sección recta y por tanto los planos de circunferencia y elipse son paralelos.


¿Dónde está, pues, el truco de esta cosa rara? Pues está en que esa figura no es un tronco de cono y menos, de un cono de revolución. Su superficie curva es una superficie reglada, y por añadidura, muy particular.


La Fig. 1 es la fotografía de la figura definitiva que se obtiene al montar el contenido de la Fig. 2 que, a su vez es el dibujo de Auto Cad que combina una ejecución 2 y 3 D (Fig. 3).


En la Fig. 2 aparecen en planta, centradas, las dos bases del tronco: la circunferencia (inferior) y la elipse (superior). En el diseño, la elipse ha de elevarse a la altura necesaria (Fig. 3).


A continuación hay que dividir ambas bases en la misma cantidad de partes iguales, 20 en este caso. Las simetrías de la figura nos permiten desarrollar sólo una cuarta parte de ellas.


En el desarrollo de la superficie curva de Fig. 2 se ve que, al final, es como si las curvas circunferencia y elipse se hubieran poligonalizado. Ello permite representar ese desarrollo como pura triangulación a base de triángulos isósceles. Estos tienen, alternativamente, sus bases y sus vértices, respectivamente, sobre la circunferencia o la elipse.


Las bases asentadas sobre la circunferencia tienen todas igual longitud, cosa que no ocurre con las asentadas en la elipse.


Los lados  mayores de dichos triángulos isósceles son todos de distinta longitud. En definitiva, la longitud de cada lado hay que medirla sobre el dibujo 3D de Auto Cad para poder dibujarlos adosados en el plano (Fig. 2).


Veamos cómo se genera la superficie reglada: Su generatriz es el lado mayor del triángulo isósceles, y las directrices son, respectivamente, la circunferencia y la elipse.


Tomemos el triángulo a la izquierda de la Fig. 3 que tiene su vértice superior sobre la elipse y su base sobre la circunferencia. Imaginemos su lado mayor izquierdo pivotando sobre su vértice superior y apoyándose sobre la circunferencia hasta ocupar la posición de su lado mayor derecho: Hemos barrido la superficie del primer triángulo ancho.


A continuación ese lado que acabamos de mover se considera como lado mayor del primer triángulo estrecho para hacerlo pivotar sobre su vértice inferior apoyándose en la elipse. Actuando de esta manera de forma sucesiva, se consigue que la superficie lateral del tronco se convierta en desarrollable sobre el plano de la Fig. 2.

Fig. 1

Fig.2